Il corso di Analisi Matematica I si propone di introdurre gli strumenti fondamentali dell’analisi classica, fornendo agli studenti una solida preparazione teorica e operativa. Il corso affronta in modo sistematico il calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di variabile reale, ponendo le basi per lo studio rigoroso dei concetti di limite, continuità, derivabilità e integrabilità. Vengono inoltre introdotte le principali tecniche di calcolo e le loro applicazioni, con esempi tratti da problemi significativi in ambito scientifico e ingegneristico.

Concetti fondamentali: Nozioni di logica matematica; concetto di insieme e le principali operazioni; il principio di induzione; progressione geometrica; fattoriale e coefficienti binomiali; formula del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia; i numeri naturali N, interi Z, razionali Q e reali R; valore assoluto e disuguaglianza triangolare; estremo superiore e l’assioma di completezza; Successioni numeriche: Successioni convergenti, infinitesime, divergenti, oscillanti e limitate; regole per il calcolo dei limiti; numeri reali estesi, 0+ e 0−; forme determinate e indeterminate; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri, successioni monotone; successioni asintotiche e il principio di sostituzione. Funzioni continue: Funzioni reali di una variabile reale; funzioni iniettive, suriettive, biettive, pari e dispari; funzione inversa; funzioni elementari: polinomi e funzioni razionali, potenza, funzione esponenziale, iperboliche, circolari, grafici; somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni; funzioni monotone e limitate; limiti delle funzioni reali; regole per il calcolo di limiti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri per le funzioni; funzioni continue; funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri e dei valori intermedi, il metodo di bisezione; continuità delle funzioni elementari e delle loro inverse: logaritmi, inverse delle funzioni circolari e iperboliche; funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstraß. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: Rapporto incrementale; derivata e suo significato geometrico; regole di derivazione; derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse; derivazione delle funzioni elementari e loro inverse; estremi locali e teorema di Fermat; i teoremi di Rolle e di Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange; funzioni monotone; estremi locali di funzioni derivabili; funzioni con derivata zero; le regole di de l’Hospital; approssimazione lineare di una funzione; il differenziale; le derivate successive; i simboli di Landau; funzioni con contatto di ordine n; polinomio di Taylor e di Mac Laurin; la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano; i polinomi di Taylor delle funzioni elementari; applicazioni del teorema di Taylor: estremi locali, calcolo numerico, confronti asintotici tra funzioni e calcolo dei limiti con il principio di sostituzione, serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari; studio di funzione. Calcolo integrale per funzioni di una variabile: L’integrale di Riemann e significato geometrico; somme inferiori e superiori, caratterizzazione delle funzioni integrabili; classi di funzioni integrabili; proprietà dell’integrale; la funzione integrale e la primitiva; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrale indefinito; regole di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione; integrali impropri e criteri di convergenza, serie e integrali impropri.